Factorización - Suma y Diferencia de Potencias Impar
Suma y Resta de Potencias de Exponente Impar
Suma de potencias de exponente impar.
Procedimiento:
Sabemos que multiplicando la suma de dos expresiones algebraicas cualesquiera
por el polinomio homogeneo ordenado de segundo grado formado por dichas
expresiones y coeficientes +1, -1, +1, se obtenía la suma de cubos de
dichas expresiones algebraicas
Por lo anterior vemos que : (a + b)(a2-ab + b2) = a3 + b3.
Por consiguiente,
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2).
Ejemplos:
Resolver
lo Siguiente:
1. x3 + 1
(x + l)(x2 - x + 1).
2. 8x3 + 27y3
(2x)3 + (3y)3
(2x + 3y)(4x2 - 6xy + 9y2)
3. x3 + y9
x3 + (y3)3
(x + y3)(x2 - xy3
+ y6)
Suma de dos potencias cualesquiera con
el mismo exponente impar.
Si tenemos:
a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 -
ab3 + b4);
y, análogamente, se comprueba que
a7 +b7
= (a + b) (a6 - a5b + a4b2 - a3b3 +
a2b4 - ab5 + b6).
En general, se tiene
an + bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b2
- ...+ bn-1)
siempre que n sea un entero positivo impar.
Es
decir:
Procedimiento
La suma de dos potencias con el mismo exponente n impar se descompone en la suma de las bases
Se multiplica por un polinomio homogéneo de
grado n - 1 con coeficientes+ 1 y - 1 alternativamente.
Ejemplos:
Resolver
lo Siguiente:
1. x5 + 32
x5 + 25
(x + 2)(x4 - x3 . 2 + x2 •
22 - x . 23 + 24)
(x + 2)(x4 -
2x3 + 4x2- 8x
4- 16).
2. 243x5+ 1
(3x)5+ 1
(3x + 1)(81x4 -
27x3 + 9x2 - 3x
+ 1).
Diferencia de potencias de exponente impar.
Si tenemos:
a5 - b5 = (a - b)(a4 + a3b + a2b2
+ ab3 + b4);
y, análogamente, se comprueba que
a7- b7
= (a - b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 +
a2b4 + ab5 + b6).
En general, se tiene
an - bn = (a - b) (an-1+ an-2b + an-3b2
+ ...+ bn-1)
siempre que n sea un entero positivo impar.
Es
decir:
Procedimiento
La diferencia de dos potencias con el mismo exponente n impar se descompone en la
resta de las bases
Se multiplica por un polinomio homogéneo de
grado n - 1 con coeficientes positivos.
